Care este ordinea efectuării operațiilor

Ce este ordinea efectuării operațiilor matematice?

Înainte de a afla ce reprezintă ordinea efectuării operațiilor, trebuie să știi că acestea sunt de trei feluri:

• Operații matematice de ordinul 1- adunarea și scăderea
• Operații matematice de ordinul 2- înmulțirea și împărțirea
• Operații matematice de ordinul 3- ridicarea la putere și extragerea radicalului

Ordinea operațiilor matematice este mereu aceeași, constituind o succesiune corectă a operațiilor regăsite într-o expresie matematică. 

În ceea ce privește ordinea efectuării operațiilor cu numere întregi (acestea includ numerele pozitive, pe cele negative plus cifra 0; numerele întregi pozitive sunt cele ce corespund numerelor naturale), aceasta este aceeași ca și în cazul numerelor naturale (un număr natural reprezintă oricare cifră începând cu 0, inclusiv, până la infinit, numerele naturale fiind considerate ca întregi și strict pozitive). 

Ordinea efectuării operațiilor: regula de aur

Ordinea operațiilor trebuie să țină întotdeauna cont de ordinul căruia aparțin operațiile matematice. 

Ordinea efectuării operațiilor: înmulțirea și împărțirea

Înmulțirea (x) și împărțirea (:) sunt operații de ordinul 2, iar dacă într-o expresie matematică sunt mai multe operații de acest ordin, ordinea efectuării operațiilor cu înmulțire și împărțire presupune ca toate operațiile să fie rezolvate exact în ordinea în care apar (de la stânga către dreapta). Explicația pentru necesitatea de a respecta această regulă este: operațiile de același ordin vor fi rezolvate întotdeauna în ordinea în care au fost scrise, iar înmulțirea nu deține o importanță mai mare decât împărțirea. 

În cazul în care nu se va respecta ordinea efectuării operațiilor, se poate ajunge la un rezultat greșit al calculelor, precum în acest exemplu: 10:5x2=10:10=1 (rezultat greșit), în timp ce 10:5x2=2x2=4 este corect.

Ordinea efectuării operațiilor: adunare și scădere

Când trebuie să se respecte ordinea corectă a operațiilor cu adunare și scădere, se va proceda la fel ca în cazul celor bazate pe înmulțiri și împărțiri. Astfel, adunarea (+) și scăderea (-) sunt operații de ordinul 1, iar dacă o expresie matematică include mai multe operații de acest ordin, ele vor fi rezolvate exact în ordinea în care au fost scrise (de la stânga la dreapta), dat fiind faptul că nici adunarea nu deține o importanță mai mare decât scăderea. 

Când se respectă ordinea efectuării operațiilor, se vor obține rezultatele corecte, așa cum se vede și în exemplul: 10-5+5=5+5=10 (rezultat corect) în loc de 10-5+5=10-10=0 (rezultat greșit). 

În situația în care într-un exercițiu există atât adunări și scăderi, cât și înmulțiri și împărțiri, pentru a se urma întocmai ordinea efectuării operațiilor, se va lucra în acest mod:

• Prima dată se vor efectua înmulțirile și împărțirile (exact în ordinea în care apar)
• După aceea se vor efectua adunările și scăderile (tot în ordinea în care apar)

De ce se rezolvă mai întâi operațiile de ordinul 2? 

Înmulțirea constituie o operație matematică de ordinul 2 întrucât se obține prin adunarea repetată a aceluiași termen, iar împărțirea este tot de ordinul 2, întrucât se obține printr-o scădere repetată a aceluiași termen.

Ca să respecți mereu ordinea efectuării operațiilor, vei avea în vedere și acest principiu de bază în matematică: operațiile care aparțin unui ordin „superior” au prioritate în fața celor „mai puțin puternice”. Din acest motiv, operațiile de ordinul 2 dețin prioritate în fața celor de ordinul 1. 

Dacă într-un exercițiu fără paranteze, se află operații din toate cele trei ordine, iată care este ordinea operațiilor matematice: mai întâi se vor efectua operațiile de ordinul 3 (radicalul și/sau ridicarea la putere), urmează operațiile de ordinul 2 și la final operațiile de ordinul 1. 

Ordinea efectuării operațiilor: explicarea parantezelor

Parantezele sunt simboluri ce se folosesc în matematică pentru gruparea numerelor sau pentru a se clarifica ordinea operațiilor ce trebuie respectată în cadrul unei expresii algebrice. Ele sunt de mai multe feluri:

• paranteze rotunde (mici)- simbolul lor este ()
• paranteze pătrate- simbolul lor este []
• acolade- simbolul lor este {}

Când sunt mai multe paranteze, ele vor fi rezolvate în ordinea în care apar în exercițiu (de la stânga la dreapta). Se va proceda la fel și pentru situațiile în care între paranteze se regăsesc expresii complexe. 

În privința ordinii efectuării operațiilor și folosirea parantezelor rotunde, se va pune în aplicare următoarea regulă: dacă o operație între paranteze rotunde este aflată în interiorul expresiei, primul pas este să se copieze expresia exact așa cum este, până când se ajunge la operația respectivă, ulterior se va scrie rezultatul operației și la final va fi copiat restul expresiei. Mai exact, se vor rezolva mai întâi calculele dintre paranteze și după aceea se va trece la efectuarea restului de operații, respectând ordinea în care sunt scrise. Urmărește și exemplul de mai jos:

5+3·(2+3)-10=5+3·5-10=5+15-10=10

Alte aspecte de care trebuie să ții cont întotdeauna pentru a respecta corect ordinea efectuării operațiilor cu paranteze sunt:

• Dacă într-un exercițiu se află atât paranteze rotunde, cât și pătrate- Rezolvarea se referă la: prima dată se vor rezolva operațiile dintre parantezele pătrate, apoi cele dintre parantezele rotunde, pentru ca la sfârșit să fie rezolvate operațiile rămase în ordinea în care apar
• Dacă într-un exercițiu se află paranteze rotunde, pătrate și/sau acolade- Prima dată se vor efectua calculele aflate între parantezele rotunde, urmează apoi cele dintre parantezele pătrate și la urmă și cele aflate între acolade. Se vor efectua calculele din parantezele mici până când parantezele vor fi eliminate și se ajunge la o expresie matematică fără paranteze

Ordinea efectuării operațiilor cu puteri 

Pentru a putea să lucrezi cu ridicarea la putere, mai înainte de orice trebuie să știi că aceasta reprezintă o înmulțire repetată, implicând un exponent și o bază. Spre exemplu, dacă este vorba de 2 la puterea 3 (2³), 2 reprezintă baza, iar 3 reprezintă exponentul. 

Înainte să vezi cum stau lucrurile cu ordinea efectuării operațiilor cu puteri, este indicat să cunoști și câteva detalii esențiale precum:

• Când într-un exercițiu nu sunt paranteze, pentru început se vor efectua ridicările la putere, după aceea, înmulțirile și împărțirile și la final adunările și scăderile (toate se vor efectua respectând ordinea în care sunt scrise) 
• Când într-un exercițiu sunt paranteze, se va lucra prima dată ceea ce este în paranteze, urmând să te ocupi apoi de ridicările la putere, după aceea de înmulțiri și/sau împărțiri și la final de adunări și scăderi
• La un calcul ce include o cifră ridicată la puterea 1, rezultatul final este acea cifră (de pildă, 3¹ este 3)
• La un calcul ce include un număr ridicat la puterea 0, rezultatul final este 1
• Pentru înmulțirea de puteri cu aceeași bază, dar cu exponenți diferiți, rezultatul final se va obține așa: se va păstra baza și se vor aduna exponenții
• Pentru împărțirea de puteri cu aceeași bază, dar cu exponenți diferiți, rezultatul final se va obține astfel: se va păstra baza și se vor scădea exponenții
• Dacă se lucrează cu puterea unei puteri, se va menține baza și se vor înmulți exponenții, lucrându-se de sus în jos: (2³)² este egal cu 2 la puterea 6 (se înmulțesc exponenții: 3x2)
• În cazul în care trebuie să ridici un produs la o putere, întâi vei ridica fiecare factor la putere și la final se vor înmulți puterile ce au fost obținute: (2·3)²= 2²·3²

Exemple pentru ordinea operațiilor matematice 

Ordinea efectuării operațiilor va fi înțeleasă cu mai multă ușurință dacă se vor urmări demonstrații, bazate pe exerciții ce vor fi explicate și rezolvate pas cu pas.

Exemplu pentru ordinea operațiilor cu adunări și scăderi 

Din exercițiile din videoclip se poate observa cum adunările și scăderile se vor efectua respectând ordinea în care sunt scrise:

Exemplu cu ordinea efectuării operațiilor cu înmulțiri și/sau împărțiri

Din exercițiul rezolvat se va sesiza cum operațiile de ordinul 2 au prioritate în fața celor de ordin 1:

În exercițiile în care apar parantezele, acestea trebuie rezolvate primele și după aceea se va continua cu restul calculelor, ținându-se cont de ordinea efectuării operațiilor:

Noțiunile care țin de ordinea efectuării operațiilor, la clasa a 4-a de pildă, pot fi deprinse cu ajutorul unei fișe de lucru cu exerciții și probleme care conțin adunări, scăderi, înmulțiri, împărțiri și paranteze:

1.Să se calculeze:

• 25+41-13+28=
• 81-19+57-39=
• 7x6-3x6= 
• 7+3x6-9=
• 25-3x3-7=
• 108+26-2x10=
• 8x9-54+11=
• (7x5-6x4)+ (3x5-5x3)=
• (28+2+30):10+729-(9x2)=
• (25:5+7x2):1+230-(8x2x1+9) =
• 4x(5-2+3)+3x(9-4+2)+4x(1+2+4)=

(Sursă: didactic.ro)

2. Calculează:

• 7x (46-38)=
• 128+54:6=
• 2x8+56:7=
• 100- (8x8:8)=
• 45+20:4-3x5=
• (199+1)- 3x7=
• (10+13)+(36:9-21:7)=
• 164+ (100-9:9-5x10)=
• 48+ (103-100)x9+(24:3x0)=
• (5 x 4) + (45 – 2 x 9 x 6 x 0)=

(Sursă: didactic.ro)

3. „Din produsul numerelor 9 și 6 vei scădea câtul numerelor 42 și 7.”

(Sursă: didactic.ro)

4. „Într-un vas sunt 60 l de ulei, iar în altul este o cantitate de 3 ori mai mică. Câți l de ulei sunt în cele două vase?”

(Sursă: didactic.ro)

5. „Într-un parc au fost plantate 6 rânduri cu câte 8 panseluțe pe fiecare rând și 7 rânduri cu câte 9 garoafe pe rând. Câte flori s-au plantat în total?”

(Sursă: didactic.ro)

6. „Scrie expresia numerică și rezolvă următoarea problemă: Irina a cumpărat 3 napolitane, plătind câte 5 lei pentru fiecare. Ce rest a primit dacă a dat la casă o bancnotă de 100 de lei?”

(Sursă: didactic.ro)

Exemplu cu ordinea efectuării operațiilor cu puteri

Următorul exercițiu, în care se regăsesc operații matematice ce aparțin tuturor celor trei ordine, va fi o demonstrație legată de cum trebuie să se lucreze pentru a se respecta ordinea efectuării operațiilor:

 Ordinea efectuării operațiilor este binevenită și în viața de zi cu zi, în condițiile în care oferă soluții pentru rezolvarea unor situații ce pot surveni oricând. Spre exemplu, pentru a afla care este suma de bani pe care trebuie să o aloce fiecare dintre 5 prieteni care vor să achiziționeze 5 pizza care costă fiecare câte 20 de lei, se va recurge la ordinea efectuării operațiilor. Expresia matematică formată în baza datelor acestei probleme va arăta astfel: (20x5):5=100:5=20.

Așadar, stăpânirea ordinii efectuării operațiilor nu este utilă doar pentru a putea duce la capăt exerciții și probleme la matematică.

Surse: cuemath.com, didactic.ro, elementarymath.edc.org, info-invatamant.ro, laboratoruldemate.com, lectii-virtuale.ro, libertatea.ro, impact.ro, mathema.ro, matera.ro, mathmoreeasy.com, scientia.ro, scoala160.ro, study.com

Sursă poză principală: istockphoto.com