Ce este șirul lui Fibonacci și de ce este important

Ce este șirul lui Fibonacci

Șirul lui Fibonacci este format din numere naturale, fiecare număr din șir fiind suma celor două numere care îl preced. Astfel, de cele mai multe ori, șirul începe cu 0, după care urmează, de două ori, cifra 1 și apoi vine rândul cifrelor tot mai mari. 

Cele mai cunoscute cifre incluse în șirul lui Fibonacci sunt primele paisprezece, adică 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 și 233. 

Cine a inventat șirul lui Fibonacci

Cifrele incluse în șir sunt legate de numele unui matematician italian, Leonardo Bonacci sau Leonardo Pisano, însă nu au fost inventate de el. Acest matematician s-a născut în secolul al XII-lea, iar în secolul al XIX-lea istoricul Guillaume Libri s-a referit la el ca „Fibonacci”, o prescurtare de la „fiul lui Bonacci”.

De fapt, ideea unui șir de numere i-a aparținut, într-o perioadă din jurul secolelor 5 î.en și 3 e.n, matematicianului indian Acharya Pingala. El a descoperit întâmplător modul în care se pot combina numerele binare în perioada în care lucra la măsura versurilor incluse în Vede, adică în culegerea de imnuri și texte religioase hinduse. Sistemul binar al lui Pingala începea de la 1, de la patru silabe scurte, 0000. După aceea, întrucât a explorat numărul de combinații ce se puteau face între silabele scurte și lungi din versurile Vedelor, Pingala a reușit să creeze secvența de cifre 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. 

Călătorind în nordul Africii, Leonardo Bonacci a avut șansa să cunoască și cifrele arabo-indiene. În aceste condiții, odată ce a revenit în Italia, a explicat modul în care indienii reușeau să valorifice numerele cuprinse între 0 și 9.

Pentru a veni cu cât mai multe detalii despre cifrele arabo-indiene, a scris cartea „Liber Abaci” (publicată în 1202) străduindu-se să arate cum aceste cifre își dovedeau beneficiile în calculele pentru taxe, pentru câștiguri, pentru pierderi etc. De asemenea, în aceeași carte, a adus în prim-plan ideea unui șir de numere pentru a se referi la modalitatea de reproducere a iepurilor. În acest scop, a propus următoarea problemă: câte perechi de iepuri puteau veni pe lume în decurs de un an, pornindu-se de la o singură pereche? Pentru a afla numărul iepurilor, Leonardo Bonacci a stabilit câteva reguli:

• În prima lună se năștea o singură pereche de iepuri;
• Pentru a putea să aibă pui, iepurii născuți în prima lună aveau nevoie să se maturizeze în decurs de o lună;
• Toți iepurii rămâneau în viață pe parcursul unui an;
• Fiecare pereche de iepuri aducea pe lume altă pereche de iepuri, în fiecare lună, începând cu cea de-a doua lor lună de viață.

După stabilirea regulilor amintite, Leonardo Bonacci a creat o secvență de numere bazându-se pe următorul fapt: un număr putea fi suma a două cifre precedente. Pentru a înțelege mai bine cum a fost pusă în valoare această concluzie a matematicianului, urmărește și videoclipul de mai jos:

Pornind de la problema propusă în lucrarea sa, Leonardo Bonacci a obținut o secvență de numere: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Practic, a constatat că, ținându-se cont de regulile sale, în decurs de un an se nășteau 144 de iepuri.

Către sfârșitul secolului al XIX-lea, mai exact în 1877, matematicianul francez Edouard Lucas a studiat în detaliu secvența numerică din lucrarea „Liber Abaci” și a numit-o șirul lui Fibonacci. 

Cum se calculează șirul lui Fibonacci

Acest șir se poate calcula pornind de la numerele 1 și 1, aflate pe a doua poziție în șir, urmând ca de la ele să fie generate și restul numerelor, ca sume a două numere precedente. În acest context, fiecare număr din șir poate fi notat Fn, „n” reprezentând poziția numărului în cadrul șirului, începându-se însă cu cifra 0. Folosindu-se numerele, șirul lui Fibonacci se poate defini prin trei ecuații:

• F0=0;
• F1=1;
• Fn= Fn-1+ Fn-2.

Iată cum arată poziția fiecărui număr și valoarea Fn pentru primele 14 numere din șirul lui Fibonacci:

Având la îndemână poziția fiecărei cifre și valoarea Fn, poți calcula fără dificultate numărul dorit din șirul lui Fibonacci, precum în acest exemplu: F6= F6-1+F6-2=F5+F4=5+3=8. 

În același timp, anumite numere care fac parte din șirul lui Fibonacci pot fi regăsite în natură. Spre exemplu, irișii au 3 petale, piciorul-cocoșului sau „buttercup” are 5 petale, crizantema sălbatică galbenă are 13 petale, margaretele pot avea 34 de petale etc. Totodată, dacă feliezi anumite fructe, pe fiecare felie poți sesiza o formă de stea, care are un număr de colțuri egal cu numere incluse în șirul lui Fibonacci. De pildă, la banane steaua are 3 colțuri, la mere 5 colțuri, la fructul kaki 8 colțuri etc. 

În plus, numerele din șirul lui Fibonacci sunt asociate cu „spirala de aur” și cu „raportul de aur”. În ceea ce-l privește pe acesta din urmă, pentru a-l calcula este necesar să împarți fiecare număr din șirul de la Fibonacci, de la 5 în sus, la numărul precedent, ca în exemplele de mai jos:

• 5:3= 1,666...;
• 8:5= 1,6;
• 13:8=1,625;
• 21:13= 1,61538...

Cu cât numerele pe care le împarți sunt mai mari, cu atât rezultatul împărțirii se apropie mai mult de valoarea  1,618034, cunoscută ca „raportul de aur”, „proporția de aur” sau „numărul de aur”, notându-se cu litera grecească „φ” (phi). Acest raport se regăsește și în spirala ce poate fi reprezentată cu ajutorul unor numere din șirul lui Fibonacci. Inițial se desenează pătrate, fiecare dintre ele având lungimea laturii egală cu suma ultimelor două lungimi ale laturii pătratelor reprezentate anterior. După aceea, în fiecare dintre pătratele și dreptunghiurile obținute se conturează câte un sfert de cerc care formează o spirală, ce se îndepărtează de centrul său cu 1,618034. Se întâmplă așa după fiecare sfert de rotație.

Pentru reprezentarea unei spirale similare cu cea a lui Fibonacci, poți să te inspiri și din videoclipul de mai jos:

De-a lungul timpului, oamenii de știință au observat că spirala lui Fibonacci se întâlnește des în natură. De pildă, au formă de spirală cochiliile, ochiul unui uragan sau galaxiile.

Mai mult, spirala lui Fibonacci este vizibilă în modul de dispunere a frunzelor unor plante suculente și a semințelor de:

• Echinacea purpurea;
• Floarea-soarelui;
• Zmeură etc.

Atât numerele din șirul lui Fibonacci, cât și „raportul de aur”, se folosesc și în prezent în domenii de activitate cum ar fi:

• În ingineria IT: pentru sortarea algoritmilor și pentru realizarea unor programe bazate pe algoritmi care se repetă;
• În marketing: șirul lui Fibonacci poate fi pus în valoare pentru trimiterea secvențelor de email, adică pentru seriile de email-uri ce se trimit în mod automat, într-un anumit interval de timp, clienților actuali și potențialilor clienți; 
• În economie: principiul pe baza căruia se calculează „raportul de aur” este inclus și în grafice binevenite pentru anticiparea evoluțiilor de pe piața bursieră;
• În muzică: anumite numere din șirul lui Fibonacci pot fi regăsite și pe claviatura unui pian, adică ansamblul clapelor albe și negre, ce sunt dispuse în octave. Acestea din urmă reprezintă distanța dintre primul și al optulea sunet. Octava unui pian poate include 13 clape, 5 albe și 8 negre. În ceea ce privește „raportul de aur”, acesta poate fi folosit, de exemplu, pentru crearea viorilor sau a muștiucului (partea ce vine în contact direct cu gura) unui saxofon;
• În artă, arhitectură și design grafic: „raportul de aur” se poate utiliza pentru obținerea proporțiilor care conferă armonie.

Momentul adevărului: cum ne ajută, cu adevărat în viață, matematica studiată la școală